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그래프 이론 기초 (Graph Theory)

koa (김신건) — Tue, 07 Jul 2026 00:00:00 GMT

정의

그래프 (Graph) $G = (V, E)$ 는 정점 (vertex) 의 집합 $V$ 와 간선 (edge) 의 집합 $E$ 로 이루어진 이산 구조입니다. 간선은 정점의 쌍 (또는 순서쌍) 을 나타내며 정점 간 관계를 표현합니다.

컴퓨터 과학의 다양한 분야 (네트워크, 자료구조, 알고리즘, 데이터베이스, 컴파일러) 에서 그래프는 근본 언어.

그래프의 종류

무향 그래프 (Undirected Graph)

간선이 방향 없음. ${u, v}$ 로 표기 (순서 무관).

flowchart LR
  A((A)) --- B((B))
  A --- C((C))
  B --- D((D))
  C --- D

유향 그래프 (Directed Graph, Digraph)

간선이 방향 있음. $(u, v)$ 순서쌍.

flowchart LR
  A((A)) --> B((B))
  A --> C((C))
  B --> D((D))
  C --> D

가중 그래프 (Weighted Graph)

각 간선에 가중치 (weight, cost). 최단 경로 알고리즘의 대상.

flowchart LR
  A((A)) -->|5| B((B))
  A -->|3| C((C))
  B -->|2| D((D))
  C -->|8| D

다중 그래프 vs 단순 그래프

단순 그래프: 자기 루프 없고 다중 간선 없음
다중 그래프: 두 정점 간 여러 간선 허용

완전 그래프 $K_n$

모든 정점 쌍이 연결. $|E| = \binom{n}{2}$.

이분 그래프 (Bipartite Graph)

정점을 두 집합 $X, Y$ 로 나눌 수 있고 모든 간선은 $X$ 와 $Y$ 사이:

flowchart LR
  X1((X1)) --- Y1((Y1))
  X1 --- Y2((Y2))
  X2((X2)) --- Y2
  X3((X3)) --- Y3((Y3))

  style X1 fill:#fee2e2
  style X2 fill:#fee2e2
  style X3 fill:#fee2e2
  style Y1 fill:#dbeafe
  style Y2 fill:#dbeafe
  style Y3 fill:#dbeafe

정리: 그래프가 이분 그래프 $\iff$ 홀수 길이 사이클이 없음.

차수 (Degree)

정점 $v$ 의 차수 $\deg(v)$ = 인접한 간선의 수.

악수 정리 (Handshake Theorem)

$$ \sum_{v \in V} \deg(v) = 2|E| $$

직관: 각 간선은 두 정점의 차수에 각 1씩 기여.

따름: 홀수 차수 정점의 개수는 짝수.

유향 그래프의 in/out-degree

$\deg^-(v)$ = 들어오는 간선 수 (in-degree)
$\deg^+(v)$ = 나가는 간선 수 (out-degree)
$\sum \deg^-(v) = \sum \deg^+(v) = |E|$

경로와 사이클

경로 (path): 정점의 나열 $v_0, v_1, \ldots, v_k$ 로 각 $(v_i, v_{i+1})$ 이 간선.

단순 경로: 정점이 중복되지 않음.

사이클 (cycle): 시작과 끝이 같은 경로 ($v_0 = v_k$).

단순 사이클: 시작/끝 외에 중복 정점 없음.

연결성 (Connectivity)

연결 그래프: 임의의 두 정점 사이에 경로 존재 (무향).

연결 요소 (connected component): 최대 연결 부분 그래프.

유향 그래프:

약한 연결: 무향으로 만들면 연결
강한 연결: 모든 순서쌍 $(u, v)$ 에 대해 $u \to v$ 경로 존재

트리 (Tree)

연결이며 사이클이 없는 무향 그래프.

성질

$|V|$ 개 정점의 트리는 $|V| - 1$ 개 간선을 가짐
임의의 두 정점 사이에 유일한 경로 존재
어떤 간선을 제거하면 연결성 잃음
어떤 두 정점 사이에 간선을 추가하면 사이클 생김

트리와 관련 개념

뿌리 트리 (rooted tree): 하나의 정점을 뿌리로 지정
잎 (leaf): 차수 1인 정점
이진 트리: 각 정점의 자식이 최대 2개
완전 이진 트리: 모든 잎이 같은 깊이

자세한 것은 [[trees|트리 (알고리즘)]] 참조.

그래프 표현

인접 행렬 (Adjacency Matrix)

$|V| \times |V|$ 행렬. $A[i][j] = 1$ 이면 간선 존재.

장점: $O(1)$ 간선 조회. 단점: $O(|V|^2)$ 공간. 희소 그래프에 낭비.

인접 리스트 (Adjacency List)

각 정점에 인접 정점 리스트.

장점: $O(|V| + |E|)$ 공간. 단점: 특정 간선 존재 확인 $O(\deg(v))$.

간선 리스트

간선의 순서쌍 목록. 크루스칼 알고리즘 등에 활용.

그래프 탐색

깊이 우선 탐색 (DFS): 스택 (재귀). 사이클 감지, 위상 정렬, SCC.

너비 우선 탐색 (BFS): 큐. 최단 거리 (간선 가중치 1).

자세한 것은 [[dfs|DFS]], [[bfs|BFS]] 참조.

그래프 색칠

색칠 (coloring): 인접한 정점이 다른 색을 갖도록 색을 부여.

색깔 수 최소 = 색채 수 (chromatic number) $\chi(G)$.

대표 예

이분 그래프: $\chi = 2$
$K_n$: $\chi = n$
홀수 사이클: $\chi = 3$

4색 정리

평면 그래프는 항상 4개 이하 색으로 색칠 가능. 지도 색칠 문제.

응용

레지스터 할당: 컴파일러가 변수를 레지스터에 배치. 겹치는 라이프타임 = 인접 간선.
스케줄링: 시험 시간표 (같은 학생 = 인접 = 다른 시간).
주파수 할당: 인접 기지국 = 다른 주파수.

오일러 경로와 해밀턴 경로

오일러 경로 (Eulerian Path)

모든 간선을 정확히 한 번씩 지나는 경로.

정리: 오일러 경로 존재 $\iff$ 홀수 차수 정점 수가 0 또는 2. (2이면 그 두 정점이 시작/끝).

해밀턴 경로 (Hamiltonian Path)

모든 정점을 정확히 한 번씩 지나는 경로.

결정 문제 NP-완전 (오일러와 대조적).

매칭 (Matching)

매칭: 간선의 부분집합으로, 어떤 두 간선도 공통 정점을 갖지 않음.

완벽 매칭: 모든 정점이 매칭에 포함.

이분 그래프 매칭

이분 그래프 $G = (X \cup Y, E)$ 에서 $|X|$ 만큼의 매칭.

Hall 의 정리: $X$ 를 모두 매칭 $\iff$ 임의의 $S \subseteq X$ 에 대해 $|N(S)| \geq |S|$.

응용: 작업 할당, 자원 배분.

그래프의 활용

네트워크

인터넷 라우팅: 최단 경로 (다익스트라, BGP)
소셜 네트워크: 친구 관계 (연결성, 커뮤니티 감지)
P2P: 그래프 위상

컴파일러

CFG (Control Flow Graph): 프로그램 실행 흐름
DFG (Data Flow Graph): 데이터 의존
SSA 변환: 지배자 트리
레지스터 할당: 색칠

데이터베이스

관계형: 외래 키 = 간선
그래프 DB: Neo4j, Neptune

기계학습

베이지안 네트워크: DAG
CRF: 무향 그래프
GNN (Graph Neural Networks): 그래프 위 학습

게임

미로: 그래프 최단 경로
체스, 오목: 상태 그래프

함정

1. 방향/무방향 혼동

무향 그래프에서 ${u, v}$ 는 ${v, u}$ 와 같음. 유향은 다름.

2. 다중 간선

인접 행렬은 다중 간선 표현 힘듦. 인접 리스트 사용.

3. 그래프 vs 트리

트리는 그래프의 특수 케이스. 사이클 없는 연결 그래프.

4. 자기 루프

$(v, v)$ 형태 간선. 차수 계산 시 보통 2로 카운트 (양끝 같음).

명제 논리 (Propositional Logic)

koa (김신건) — Tue, 07 Jul 2026 00:00:00 GMT

정의

명제 (Proposition) 는 참 (T) 또는 거짓 (F) 값을 가지는 서술문입니다. 참/거짓을 판단할 수 없는 문장 (질문, 명령, 감탄) 은 명제가 아닙니다.

예 (명제):

“2 + 2 = 4” (참)
“지구는 정사각형이다” (거짓)
“$n$ 은 소수이다” (변수 있음: 술어)

예 (명제 아님):

“안녕하세요?”
“문을 닫아라”
“$x + 3$“

논리 연산자

명제 $p, q$ 를 결합해 새 명제 생성.

연산	기호	의미
부정	$\neg p$	not p
논리곱	$p \land q$	p 그리고 q
논리합	$p \lor q$	p 또는 q (포함적 or)
배타적 논리합	$p \oplus q$	p 또는 q 이지만 둘 다는 아님
함의	$p \to q$	p 이면 q (implication)
동치	$p \leftrightarrow q$	p 이면 q 이고 q 이면 p

진리표

각 연산의 정의:

AND ($\land$)

$p$	$q$	$p \land q$
T	T	T
T	F	F
F	T	F
F	F	F

OR ($\lor$)

$p$	$q$	$p \lor q$
T	T	T
T	F	T
F	T	T
F	F	F

함의 ($\to$)

가장 헷갈리는 연산. “p 이면 q” 는 p 가 참인데 q 가 거짓일 때만 거짓, 나머지는 참.

$p$	$q$	$p \to q$
T	T	T
T	F	F
F	T	T
F	F	T

직관: “비가 오면 우산을 든다” 라는 약속.

비 O, 우산 O -> 약속 지킴 (T)
비 O, 우산 X -> 약속 어김 (F)
비 X, 우산 O -> 약속과 무관 (T, vacuously true)
비 X, 우산 X -> 약속과 무관 (T)

전제가 거짓이면 함의는 항상 참 = vacuous truth.

동치 ($\leftrightarrow$)

$p \leftrightarrow q$ 는 두 명제의 진리값이 같음.

$p$	$q$	$p \leftrightarrow q$
T	T	T
T	F	F
F	T	F
F	F	T

진리표로 논리 등식 검증

예: 드모르간 법칙 $\neg (p \land q) \equiv \neg p \lor \neg q$

$p$	$q$	$p \land q$	$\neg(p \land q)$	$\neg p$	$\neg q$	$\neg p \lor \neg q$
T	T	T	F	F	F	F
T	F	F	T	F	T	T
F	T	F	T	T	F	T
F	F	F	T	T	T	T

4번째, 7번째 열이 일치 -> 등식 성립.

시각화: 진리표를 다이어그램으로

AND / OR 벤 다이어그램

flowchart LR
  subgraph "AND: p ∧ q (교집합)"
    A1["p 만"]:::p
    B1["q 만"]:::q
    AB1["p ∧ q"]:::and
  end

  classDef p fill:#fee2e2
  classDef q fill:#dbeafe
  classDef and fill:#a7f3d0

$p \land q$ 는 두 원의 교집합, $p \lor q$ 는 두 원의 합집합.

논리 동치 (주요 법칙)

법칙	등식
항등	$p \land T \equiv p$, $p \lor F \equiv p$
지배	$p \lor T \equiv T$, $p \land F \equiv F$
멱등	$p \land p \equiv p$, $p \lor p \equiv p$
이중부정	$\neg (\neg p) \equiv p$
교환	$p \land q \equiv q \land p$, $p \lor q \equiv q \lor p$
결합	$(p \land q) \land r \equiv p \land (q \land r)$
분배	$p \land (q \lor r) \equiv (p \land q) \lor (p \land r)$
드모르간	$\neg(p \land q) \equiv \neg p \lor \neg q$
흡수	$p \lor (p \land q) \equiv p$
함의 재작성	$p \to q \equiv \neg p \lor q$
대우	$p \to q \equiv \neg q \to \neg p$
동치 재작성	$p \leftrightarrow q \equiv (p \to q) \land (q \to p)$

함의의 관련 명제

$p \to q$ 에 대해:

역 (converse): $q \to p$
이 (inverse): $\neg p \to \neg q$
대우 (contrapositive): $\neg q \to \neg p$

중요: 원 명제와 대우 는 논리적으로 동치. 역/이는 원 명제와 동치가 아님.

예: 원 명제 “비가 오면 땅이 젖는다”

대우: “땅이 젖지 않으면 비가 오지 않는다” (동치 O)
역: “땅이 젖으면 비가 온다” (동치 X, 물뿌리개일 수도)
이: “비가 오지 않으면 땅이 젖지 않는다” (동치 X)

항진명제와 모순

항진명제 (tautology): 모든 진리 할당에서 참. 예: $p \lor \neg p$
모순 (contradiction): 모든 진리 할당에서 거짓. 예: $p \land \neg p$
가능명제 (contingency): 참 또는 거짓 (진리 할당에 의존).

정규형

명제 논리식은 두 가지 표준형으로.

논리곱 정규형 (CNF, Conjunctive Normal Form)

절 (clause) 의 논리곱. 각 절은 리터럴의 논리합.

$$(l_1 \lor l_2 \lor \ldots) \land (l_3 \lor \ldots) \land \ldots$$

SAT solver 의 표준 입력. [[boolean-algebra|Boolean Algebra]] 참조.

논리합 정규형 (DNF)

항 (term) 의 논리합. 각 항은 리터럴의 논리곱.

$$(l_1 \land l_2 \land \ldots) \lor (l_3 \land \ldots) \lor \ldots$$

추론 규칙

전제로부터 결론을 도출하는 규칙:

Modus Ponens (긍정 논법)

$$ \frac{p \to q, \quad p}{\therefore q} $$

“p 이면 q, 그리고 p 이다. 따라서 q.”

Modus Tollens (부정 논법)

$$ \frac{p \to q, \quad \neg q}{\therefore \neg p} $$

“p 이면 q, 그런데 q 가 아니다. 따라서 p 도 아니다.” (대우 활용)

삼단논법

$$ \frac{p \to q, \quad q \to r}{\therefore p \to r} $$

분리 규칙

$$ \frac{p \lor q, \quad \neg p}{\therefore q} $$

컴퓨터 과학 응용

프로그래밍 조건문

if (age >= 18) and (has_license):
    can_drive = True

이는 명제 논리의 AND. and 는 $\land$, or 는 $\lor$, not 은 $\neg$.

회로 설계

AND 게이트, OR 게이트, NOT 게이트
진리표 -> DNF/CNF -> 회로
최소화: 카르노 맵

형식 검증

프로그램의 사전조건 / 사후조건을 명제로 표현
정리 증명기가 논리식 검사

SAT 문제

CNF 논리식이 만족 가능한 진리 할당이 있는가?
NP-완전. 많은 조합 최적화 문제가 SAT 로 환원.

함정

1. 함의의 vacuous truth

전제 $p$ 가 거짓이면 $p \to q$ 는 자동으로 참. 이를 잊으면 오류.

예: “5 > 10 이면 지구는 평평하다” 는 논리적으로 참 (전제 거짓).

2. 역과 원 명제 혼동

“모든 소수는 홀수이다” 의 역은 “모든 홀수는 소수이다” (거짓, 예: 9). 원 명제와 동치가 아님. (사실 원 명제도 거짓, 2 는 짝수 소수).

3. 배타적 or 와 포함적 or

일상 언어의 “or” 는 종종 배타적 (either-or). 논리 $\lor$ 는 포함적 (둘 다 참이어도 참). SQL 의 OR 등도 포함적.

4. 드모르간 실수

$\neg (p \land q) \equiv \neg p \lor \neg q$ 를 $\neg p \land \neg q$ 로 착각. 부정하면 연산자도 뒤집힘.

다음 학습

명제 논리 이후:

[[proof-techniques|증명 기법]]: 명제 논리를 이용한 증명 방법
[[boolean-algebra|부울 대수]]: 회로 설계로 확장
술어 논리 (Predicate Logic): 양화사 ($\forall, \exists$) 추가

부울 대수 (Boolean Algebra)

koa (김신건) — Tue, 07 Jul 2026 00:00:00 GMT

정의

부울 대수 (Boolean Algebra) 는 두 값 (참/거짓, 1/0) 과 세 연산 (AND, OR, NOT) 을 다루는 대수 시스템입니다. 1854년 George Boole 이 창시.

컴퓨터의 심장: 모든 디지털 회로는 부울 함수의 물리적 구현.

기본 연산

정의역: $B = {0, 1}$

연산	기호	대안
AND	$\cdot$ 또는 $\land$	$ab, a \cdot b$
OR	$+$ 또는 $\lor$	$a + b$
NOT	$\overline{\cdot}$ 또는 $\neg$	$\overline{a}, a’$

진리표:

$a$	$b$	$a \cdot b$	$a + b$	$\overline{a}$
0	0	0	0	1
0	1	0	1	1
1	0	0	1	0
1	1	1	1	0

부울 대수 법칙

항등원

$$a + 0 = a, \quad a \cdot 1 = a$$

지배원 (Domination)

$$a + 1 = 1, \quad a \cdot 0 = 0$$

멱등 (Idempotent)

$$a + a = a, \quad a \cdot a = a$$

이중 부정

$$\overline{\overline{a}} = a$$

교환

$$a + b = b + a, \quad a \cdot b = b \cdot a$$

결합

$$a + (b + c) = (a + b) + c$$

분배

$$a + (b \cdot c) = (a + b) \cdot (a + c)$$ $$a \cdot (b + c) = (a \cdot b) + (a \cdot c)$$

드모르간

$$\overline{a + b} = \overline{a} \cdot \overline{b}$$ $$\overline{a \cdot b} = \overline{a} + \overline{b}$$

흡수

$$a + (a \cdot b) = a, \quad a \cdot (a + b) = a$$

여원

$$a + \overline{a} = 1, \quad a \cdot \overline{a} = 0$$

쌍대성 (Duality)

부울 대수의 모든 등식은 AND ↔ OR, 0 ↔ 1 을 교체해도 성립. 이것이 쌍대 원리.

예:

$a + 0 = a$ 의 쌍대: $a \cdot 1 = a$
$a + (a \cdot b) = a$ 의 쌍대: $a \cdot (a + b) = a$

부울 함수

$n$ 변수 부울 함수: $f: B^n \to B$.

$2^n$ 개의 입력 조합에 대해 각각 0 또는 1 -> $2^{2^n}$ 개의 서로 다른 부울 함수.

예: 2변수는 $2^4 = 16$ 개 함수, 3변수는 $2^8 = 256$ 개.

정규형

논리합 정규형 (DNF, Sum of Products)

민텀 (minterm) = 모든 변수를 포함하는 AND 항.

DNF = 민텀들의 OR.

예: $f(a, b, c) = a \overline{b} c + \overline{a} b c + a b \overline{c}$

3변수 민텀은 $2^3 = 8$ 개.

논리곱 정규형 (CNF, Product of Sums)

맥스텀 (maxterm) = 모든 변수를 포함하는 OR 항.

CNF = 맥스텀들의 AND.

예: $f(a, b, c) = (a + b + c)(\overline{a} + b + c)(a + \overline{b} + c)$

DNF/CNF 유도

진리표에서:

DNF: 출력 1인 행마다 민텀 (해당 행의 변수 조합) OR
CNF: 출력 0인 행마다 맥스텀 OR

시각화: 진리표 → 회로

예: $f(a, b, c) = ab + \overline{a}c$

$a$	$b$	$c$	$ab$	$\overline{a}c$	$f$
0	0	0	0	0	0
0	0	1	0	1	1
0	1	0	0	0	0
0	1	1	0	1	1
1	0	0	0	0	0
1	0	1	0	0	0
1	1	0	1	0	1
1	1	1	1	0	1

회로:

flowchart LR
  A[a] --> AB[AND: ab]
  B[b] --> AB
  A --> NOTA[NOT: ā]
  NOTA --> ANC[AND: āc]
  C[c] --> ANC
  AB --> OUT[OR: f]
  ANC --> OUT

카르노 맵 (Karnaugh Map)

진리표를 격자로 정리 하여 부울 함수를 시각적으로 최소화.

2변수 카르노 맵

	$b=0$	$b=1$
$a=0$	0	1
$a=1$	0	0

이 맵의 함수 = $\overline{a} b$.

3변수 카르노 맵

	$c=0$	$c=1$
$ab=00$	0	1
$ab=01$	0	1
$ab=11$	1	1
$ab=10$	0	0

Gray code 순서로 배치 ($00, 01, 11, 10$) 하여 인접 셀이 한 변수만 다름.

최소화

인접한 1 셀들을 최대 2의 거듭제곱 크기로 묶어 항 축소.

1 개 셀 = 3변수 민텀
2 개 인접 셀 = 2변수 항
4 개 인접 셀 = 1변수 항
8 개 인접 셀 = 상수 1

목적: DNF 의 항 수와 리터럴 수 최소화 -> 회로 게이트 최소화.

논리 게이트

물리적 회로:

AND 게이트: ⊃
OR 게이트: ⊃ (곡선 표현)
NOT 게이트: ▷○
NAND: AND + NOT
NOR: OR + NOT
XOR: 배타적 OR ($a \oplus b = a\overline{b} + \overline{a}b$)

보편 게이트

NAND 하나만 있으면 모든 부울 함수 구현 가능.

NOT($a$) = NAND($a$, $a$)
AND($a$, $b$) = NOT(NAND($a$, $b$))
OR($a$, $b$) = NAND(NOT($a$), NOT($b$))

NOR 도 마찬가지.

부울 함수의 응용

하드웨어 설계

ALU (Arithmetic Logic Unit): 덧셈, AND, OR 등의 회로
디코더: n 비트 입력 -> $2^n$ 개 출력 (하나만 1)
멀티플렉서: 여러 입력 중 하나 선택
레지스터, 플립플롭: 순차 회로

CPU 명령어

비트 연산 (AND, OR, XOR, NOT, SHL, SHR)
조건 플래그 (Zero, Negative, Overflow)

프로그래밍

비트마스킹: 상태 저장 (권한, 플래그)
부울 표현식 최적화: 컴파일러가 카르노 맵 유사 알고리즘

SAT (Satisfiability)

CNF 논리식이 만족 가능한가? NP-완전.

응용:

하드웨어 검증
소프트웨어 검증
스케줄링
계획 (planning)
조합 최적화

완전 함수 집합

부울 함수 $f: B^n \to B$ 를 유한한 연산 집합 으로 표현할 수 있으면 “완전 (functionally complete)”.

대표 완전 집합:

${\text{AND}, \text{OR}, \text{NOT}}$
${\text{AND}, \text{NOT}}$
${\text{OR}, \text{NOT}}$
${\text{NAND}}$
${\text{NOR}}$

불완전 집합: ${\text{AND}, \text{OR}}$ 는 NOT 필요.

함정

1. AND 우선순위

수식에서 곱 $\cdot$ 이 합 $+$ 보다 우선. $a + bc = a + (bc)$.

2. 드모르간 실수

$\overline{a + b} \neq \overline{a} + \overline{b}$. 부정하면 연산자도 바뀜.

3. 카르노 맵 순서

인접한 열/행이 한 변수만 달라야 함 -> Gray code ($00, 01, 11, 10$).

4. NAND 만으로 모든 것

가능하지만 실제 회로는 비효율. 표준 게이트 조합이 나음.

이산수학 (Discrete Mathematics)

koa (김신건) — Tue, 07 Jul 2026 00:00:00 GMT

정의

이산수학 (Discrete Mathematics) 은 이산 (discrete, 셀 수 있는) 대상을 다루는 수학의 분야입니다. 연속 (continuous) 대상 을 다루는 미적분학과 대조되며, 컴퓨터 과학의 근간을 이룹니다.

이산수학이 다루는 대상은 자연수, 정수, 그래프, 집합, 명제, 문자열, 알고리즘 등 셀 수 있는 개별 요소들이며, 이들에 대한 논리, 계수, 관계, 구조 를 다룹니다.

왜 컴퓨터 과학의 기초인가

컴퓨터는 근본적으로 이산적입니다.

비트, 바이트: 유한한 상태
명령어: 이산 실행
알고리즘: 이산 단계의 나열
데이터 구조: 이산 관계
네트워크: 그래프
컴파일러: 형식 언어 (문자열)
암호학: 정수 이론

이산수학을 모르면 알고리즘 정확성 증명, 복잡도 분석, 데이터 구조 설계, 형식 검증이 불가능합니다.

학습 지도

flowchart TD
  L[명제 논리<br/>Propositional Logic] --> P[증명 기법<br/>Proof Techniques]
  L --> Q[술어 논리<br/>Predicate Logic]

  S[집합론<br/>Sets] --> R[관계와 함수<br/>Relations & Functions]
  R --> EQ[동치 관계]
  R --> PO[부분 순서]
  R --> FUNC[함수의 종류]

  P --> IND[수학적 귀납법]
  IND --> REC[재귀]

  C[조합론<br/>Combinatorics] --> PN[순열, 조합]
  C --> IE[포함배제]
  C --> GF[생성함수]

  N[정수론<br/>Number Theory] --> MOD[모듈러 산술]
  N --> GCD[유클리드 호제법]
  N --> CRT[중국인 나머지 정리]

  G[그래프 이론<br/>Graph Theory] --> DEG[차수, 경로]
  G --> TREE[트리]
  G --> COLOR[그래프 색칠]
  G --> MATCH[매칭]

  B[부울 대수<br/>Boolean Algebra] --> CIRCUIT[논리 회로]
  B --> CNF[정규형]

  REC --> RECUR[점화식<br/>Recurrence Relations]
  RECUR --> ALG[알고리즘 복잡도]

주요 분야

1. 논리 (Logic)

명제, 진리표, 술어, 양화사, 추론 규칙. 모든 수학과 컴퓨터 프로그램의 기초.

자세한 것은 [[propositional-logic|명제 논리]] 참조.

2. 집합과 함수 (Sets, Relations, Functions)

집합 연산, 관계의 성질, 함수의 정의역/치역, 단사/전사/전단사. 자료구조와 데이터베이스의 이론적 배경.

자세한 것은 [[sets-relations-functions|집합, 관계, 함수]] 참조.

3. 조합론 (Combinatorics)

계수 원리, 순열, 조합, 이항 정리, 포함배제 원리. 알고리즘의 경우의 수 분석.

자세한 것은 [[combinatorics-basics|조합론]] 참조.

4. 정수론 (Number Theory)

나눗셈, 소수, gcd, 모듈러 산술. 암호학과 해싱의 근간.

관련: [[euclidean|유클리드 호제법]], [[modular-arithmetic|모듈러 산술]], [[crt|중국인 나머지 정리]]

5. 그래프 이론 (Graph Theory)

정점, 간선, 경로, 사이클, 연결성, 트리, 그래프 색칠. 네트워크와 알고리즘의 필수 언어.

자세한 것은 [[graph-theory-basics|그래프 이론]] 참조.

6. 부울 대수 (Boolean Algebra)

AND, OR, NOT, 진리표, 정규형 (DNF/CNF), 논리 회로. 디지털 회로 설계의 이론.

자세한 것은 [[boolean-algebra|부울 대수]] 참조.

7. 점화식과 알고리즘 (Recurrence Relations)

재귀 정의, 마스터 정리, 생성함수. 재귀 알고리즘의 시간 복잡도 분석.

자세한 것은 [[recurrence-relations|점화식]] 참조.

8. 증명 기법 (Proof Techniques)

직접 증명, 대우 증명, 귀류법, 수학적 귀납법, 구조 귀납법. 알고리즘 정확성 증명의 도구.

자세한 것은 [[proof-techniques|증명 기법]] 참조.

이산 vs 연속: 예시

개념	이산	연속
수	정수	실수
함수	$f: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$	$f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$
최적화	정수계획법, 조합최적화	미적분
확률	이산확률 (동전, 주사위)	연속확률 (정규분포)
기하	격자, 다각형	곡선, 곡면
미분/합	유한 차분	도함수

컴퓨터 과학 응용

알고리즘

최단 경로: 그래프 이론
정렬: 비교 횟수 분석 (조합론)
탐색: 이진 탐색의 정확성 (귀납법)
동적 계획법: 점화식 설계

자료구조

트리, 힙: 그래프 이론
해시: 정수론 (mod, 소수)
B-tree: 조합론적 분석

시스템

파일 시스템: 트리 구조
네트워크: 그래프 라우팅
분산 합의: 그래프 색칠, 그룹 이론

암호학

RSA: 정수론 (오일러 정리, 소인수 분해)
AES: 갈루아 필드 (유한체)
해시 함수: 조합론

기계 학습

정보이론: 엔트로피 (이산 확률)
결정 트리: 그래프 이론
베이지안 네트워크: DAG

형식 검증

모델 검사: 유한 상태 기계
정리 증명: 논리
타입 시스템: 집합론

학습 자원

Rosen, Discrete Mathematics and Its Applications: 정석 교과서 (한글 번역 있음)
Graham, Knuth, Patashnik, Concrete Mathematics: 알고리즘 배경으로 심화
Oscar Levin, Discrete Mathematics: An Open Introduction: 온라인 무료 교과서
MIT 6.042J: 이산수학과 확률 (온라인 강의)

학습 순서 (권장)

논리 + 증명 기법 ([[propositional-logic]] → [[proof-techniques]])
집합 + 함수 ([[sets-relations-functions]])
조합론 ([[combinatorics-basics]])
그래프 이론 ([[graph-theory-basics]])
부울 대수 ([[boolean-algebra]])
점화식 ([[recurrence-relations]])

이 순서는 이산수학 코스 로 구성되어 있습니다.

이산 최적화와 NP

이산수학은 계산 복잡도 이론과 직결됩니다.

flowchart TD
    P["P 문제<br/>다항 시간 결정 가능"] --> NP["NP 문제<br/>다항 시간 검증 가능"]
    NP --> PC["NP-Complete<br/>SAT, TSP, 그래프 색칠"]
    NP --> PH["NP-Hard<br/>정수 프로그래밍"]
    PC --> REDUCE["NP-Complete 상호 다항 환원 가능"]

P: 다항 시간에 결정 가능한 문제
NP: 다항 시간에 검증 가능한 문제
P vs NP: 미해결 문제 (Clay 밀레니엄 문제)
NP-Complete: 가장 어려운 NP 문제, 하나만 P 이면 P=NP

[!NOTE] TSP 결정 버전은 NP-Complete, 최적화 버전은 NP-Hard 입니다.

형식 언어와 오토마타

컴파일러와 정규식의 이론적 기반. 이산수학의 직접적인 응용.

계층	언어	오토마타	응용
정규 언어	정규 표현식	유한 오토마타	lexer, grep
문맥 자유 언어	CFG	푸시다운 오토마타	parser, HTML
문맥 의존 언어	CSG	선형 경계 오토마타	자연어 처리
재귀 가능 언어	재귀 가능	튜링 기계	일반 프로그래밍

Chomsky 계층에서 각 계층은 바로 아래 계층을 포함합니다.

증명 기법 빠른 참조

알고리즘 설계와 분석에 가장 많이 쓰는 증명 방법:

수학적 귀납법

목표: P(n) 이 모든 n >= n0 에서 성립
1. Base case: P(n0) 성립을 보임
2. Inductive step: P(k) 가 성립하면 P(k+1) 도 성립

예: 이진 탐색의 정확성, 재귀 알고리즘의 종료 조건.

귀류법

목표: P 가 참임을 보임
1. P 가 거짓이라고 가정
2. 모순 도출
결론: P 는 참

예: 소수 무한 개 증명, 알고리즘 하한 증명.

비둘기 집 원리

N+1 마리의 비둘기를 N 개의 집에 넣으면 적어도 한 집에 2마리 이상.

응용:

해시 충돌의 불가피성 증명
생일 역설: 23명 중 동일 생일자 존재 확률 > 50%
공간 압축의 한계 증명

이산 확률

이산 확률론 (Discrete Probability) 은 알고리즘 분석의 핵심 도구입니다.

from math import comb

# 이항 분포: n번 시행, 성공 확률 p, k번 성공 확률
def binomial(n, k, p):
    return comb(n, k) * (p ** k) * ((1 - p) ** (n - k))

알고리즘 분석에서 쓰이는 핵심 도구:

기댓값 분석: 퀵소트 평균 O(N log N) 증명
지시 확률 변수: 해시 충돌 기대 횟수 계산
Markov 부등식: 꼬리 확률 상한
Chernoff 경계: 집중 부등식, 랜덤 알고리즘 분석

점화식 (Recurrence Relations)

koa (김신건) — Tue, 07 Jul 2026 00:00:00 GMT

정의

점화식 (Recurrence Relation) 은 수열 $(a_n)$ 의 $n$ 번째 항을 앞선 항 (또는 몇 개) 로 표현하는 관계식입니다.

초기 조건 과 점화식이 함께 있으면 수열의 모든 항을 순차적으로 결정 가능.

예: 피보나치 $F_n = F_{n-1} + F_{n-2}$, $F_0 = 0, F_1 = 1$.

컴퓨터 과학 응용: 재귀 알고리즘의 시간 복잡도, 자료구조의 크기 분석, 동적 계획법의 상태 전이.

유명한 점화식

1. 피보나치 수열

$$F_n = F_{n-1} + F_{n-2}, \quad F_0 = 0, F_1 = 1$$

값: $0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, \ldots$

2. 팩토리얼

$$n! = n \cdot (n-1)!, \quad 0! = 1$$

3. 하노이 탑

$n$ 판을 옮기는 최소 이동 수:

$$T_n = 2 T_{n-1} + 1, \quad T_1 = 1$$

풀이: $T_n = 2^n - 1$.

4. 병합 정렬 시간 복잡도

$$T(n) = 2 T(n/2) + O(n)$$

풀이 ([[recurrence-master-theorem|마스터 정리]]): $T(n) = O(n \log n)$.

5. 이항 계수

$$\binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k}$$

6. 카탈란 수

$$C_n = \sum_{i=0}^{n-1} C_i C_{n-1-i}, \quad C_0 = 1$$

값: $1, 1, 2, 5, 14, 42, \ldots$

시각화: 재귀 트리

예: $T(n) = 2 T(n/2) + n$ 의 재귀 트리.

                    n
                   /  \
                 n/2   n/2       (합 = n)
                / \   / \
              n/4 n/4 n/4 n/4    (합 = n)
              ...
             ...
             1 1 1 ... 1          (n 개의 잎)

레벨 수 = $\log_2 n$. 각 레벨의 합 = $n$. 총 = $n \log n$.

선형 점화식 풀이

형태

$$a_n = c_1 a_{n-1} + c_2 a_{n-2} + \ldots + c_k a_{n-k}$$

$c_i$ 는 상수, $c_k \neq 0$. $k$ 차 선형 동차 상수 계수 점화식.

특성 방정식

$a_n = r^n$ 이라고 가정. 대입:

$$r^k = c_1 r^{k-1} + c_2 r^{k-2} + \ldots + c_k$$

$$r^k - c_1 r^{k-1} - \ldots - c_k = 0$$

이 방정식의 해 $r_1, r_2, \ldots, r_k$ 가 특성근.

일반해 (서로 다른 특성근)

$$a_n = A_1 r_1^n + A_2 r_2^n + \ldots + A_k r_k^n$$

$A_i$ 는 초기 조건으로 결정.

예: 피보나치

$F_n = F_{n-1} + F_{n-2}$.

특성 방정식: $r^2 - r - 1 = 0$

$r = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$

$\phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ (황금비), $\psi = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$.

$F_n = A \phi^n + B \psi^n$

초기 조건 $F_0 = 0, F_1 = 1$ 대입:

$$F_n = \frac{1}{\sqrt{5}} \left( \phi^n - \psi^n \right)$$

(Binet의 공식)

중복근

특성근 $r$ 이 $m$ 중근이면 항: $(A_0 + A_1 n + \ldots + A_{m-1} n^{m-1}) r^n$

예: $a_n = 4 a_{n-1} - 4 a_{n-2}$.

특성 방정식: $r^2 - 4r + 4 = (r - 2)^2 = 0$. $r = 2$ (중근).

일반해: $a_n = (A + Bn) 2^n$.

비동차 (비선형 항 있음)

$$a_n = c_1 a_{n-1} + \ldots + c_k a_{n-k} + f(n)$$

$f(n) \neq 0$ 이면 비동차.

일반해 = 동차해 + 특수해

특수해 형태는 $f(n)$ 형태에 따라 시행. $f(n) = P(n) s^n$ (다항식 × 지수) 이면 특수해도 유사 형태.

예: $a_n = 2 a_{n-1} + 3^n$

동차해: $r = 2 \Rightarrow A \cdot 2^n$

특수해 시도: $a_n^{(p)} = c \cdot 3^n$. 대입:

$c \cdot 3^n = 2 c \cdot 3^{n-1} + 3^n$

$3c = 2c + 3$

$c = 3$

일반해: $a_n = A \cdot 2^n + 3 \cdot 3^n = A \cdot 2^n + 3^{n+1}$

마스터 정리 (Master Theorem)

분할 정복 재귀:

$$T(n) = a T(n/b) + f(n)$$

$a \geq 1$: 하위 문제 수
$b > 1$: 크기 축소 비율
$f(n)$: 분할/병합 비용

세 경우:

$f(n) = O(n^{\log_b a - \epsilon})$ ($\epsilon > 0$): $T(n) = \Theta(n^{\log_b a})$
$f(n) = \Theta(n^{\log_b a})$: $T(n) = \Theta(n^{\log_b a} \log n)$
$f(n) = \Omega(n^{\log_b a + \epsilon})$ 이고 정규 조건: $T(n) = \Theta(f(n))$

알고리즘 예

알고리즘	점화식	결과
이진 탐색	$T(n) = T(n/2) + 1$	$\Theta(\log n)$
병합 정렬	$T(n) = 2 T(n/2) + n$	$\Theta(n \log n)$
카라추바 곱셈	$T(n) = 3 T(n/2) + n$	$\Theta(n^{\log_2 3}) \approx \Theta(n^{1.585})$
Strassen 행렬 곱	$T(n) = 7 T(n/2) + n^2$	$\Theta(n^{\log_2 7}) \approx \Theta(n^{2.807})$

생성함수 (Generating Functions)

수열을 함수로.

$$G(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$$

예: 피보나치

$G(x) = \sum F_n x^n$. 점화식 $F_n = F_{n-1} + F_{n-2}$ 로:

$G(x) - x G(x) - x^2 G(x) = F_0 + (F_1 - F_0) x = x$

$$G(x) = \frac{x}{1 - x - x^2}$$

부분 분수 분해 -> $F_n$ 의 닫힌 공식.

유용성

조합 항등식 증명
확률 생성 함수
재귀 관계 해결
점근 분석

자세한 것은 [[generating-function|생성함수]] 참조.

유용한 점화식 표

점화식	해
$a_n = a_{n-1} + c$	$a_n = a_0 + cn$
$a_n = c \cdot a_{n-1}$	$a_n = a_0 c^n$
$a_n = a_{n-1} + f(n)$	$a_n = a_0 + \sum_{k=1}^{n} f(k)$
$a_n = c a_{n-1} + f(n)$	$a_n = c^n a_0 + \sum_{k=1}^{n} c^{n-k} f(k)$
$T(n) = 2T(n/2) + n$	$\Theta(n \log n)$
$T(n) = T(n-1) + O(1)$	$\Theta(n)$
$T(n) = T(n-1) + n$	$\Theta(n^2)$
$T(n) = 2 T(n-1) + 1$	$\Theta(2^n)$

컴퓨터 과학 응용

알고리즘 분석

재귀 알고리즘의 시간 복잡도 = 점화식.

이진 탐색: $T(n) = T(n/2) + O(1)$
병합 정렬: $T(n) = 2T(n/2) + O(n)$
퀵 정렬 (worst): $T(n) = T(n-1) + O(n)$

동적 계획법

DP 는 근본적으로 점화식.

피보나치 $F_n = F_{n-1} + F_{n-2}$
LCS: $L[i][j] = \max(L[i-1][j], L[i][j-1], L[i-1][j-1] + \mathbb{1}[a_i = b_j])$
배낭: $K[i][w] = \max(K[i-1][w], K[i-1][w - w_i] + v_i)$

자료구조

B-tree 높이: $h = O(\log_M n)$ ($M$ = 분기)
힙 삽입/삭제: $O(\log n)$
AVL 트리: 회전 균형

확률

랜덤 워크의 재귀: $E[T_n] = c + \frac{1}{2}(E[T_{n-1}] + E[T_{n+1}])$
랜덤 알고리즘의 기댓값 분석

함정

1. 초기 조건 개수

$k$ 차 점화식은 $k$ 개의 초기 조건 필요. $F_n = F_{n-1} + F_{n-2}$ 는 $F_0, F_1$ 필요.

2. 특성 방정식 근

중복근 처리 잊지 말 것. $(r - r_0)^m$ 이면 $n^0, n^1, \ldots, n^{m-1}$ 곱한 항.

3. 마스터 정리 경우 3

정규 조건 (regularity): $a f(n/b) \leq c f(n)$ ($c < 1$). 대부분 성립하지만 확인 필요.

4. 지수 vs 다항

$T(n) = 2 T(n/2) + 1$ 는 $\Theta(n)$ (지수 $\log_2 2 = 1$). $T(n) = 2 T(n-1) + 1$ 는 $\Theta(2^n)$ (분할 대신 감소).

두 형태 구분 필수.

조합론 기초 (Combinatorics)

koa (김신건) — Tue, 07 Jul 2026 00:00:00 GMT

정의

조합론 (Combinatorics) 은 유한 집합의 원소를 세거나 배열하는 방법을 다루는 수학 분야입니다. “경우의 수 계산” 과 “구조의 존재/구성” 이 핵심 주제.

컴퓨터 과학에서 알고리즘 복잡도 분석, 확률 계산, 데이터 구조 분석에 필수.

두 기본 원리

합의 법칙 (Sum Rule)

서로소인 사건 $A$ 와 $B$ 가 각각 $n_1, n_2$ 가지 방법으로 발생 가능하다면, $A$ 또는 $B$ 는 $n_1 + n_2$ 가지.

예: 도서관에 소설 20권, 시집 10권. 한 권 선택하는 방법 = $20 + 10 = 30$.

곱의 법칙 (Product Rule)

절차가 두 단계로 이루어지고 첫 단계 $n_1$ 가지, 둘째 단계 $n_2$ 가지라면, 전체 방법 수 = $n_1 \cdot n_2$.

예: 4자리 PIN (0-9 각 자리). $10 \times 10 \times 10 \times 10 = 10^4 = 10000$.

순열 (Permutation)

순서 있는 배열.

$n$ 개에서 $r$ 개 뽑아 배열

$$ P(n, r) = \frac{n!}{(n-r)!} = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdots (n-r+1) $$

예: 5명 중 3명을 정렬해 세우기 = $P(5, 3) = 5 \cdot 4 \cdot 3 = 60$.

$n$ 개 전체 순열

$$ P(n, n) = n! $$

예: 5권의 책을 책장에 배열 = $5! = 120$.

원순열 (Circular Permutation)

$n$ 개를 원형 배열 = $(n-1)!$ (회전으로 같은 것 제외).

조합 (Combination)

순서 없는 선택.

이항계수 $\binom{n}{r}$

$$ \binom{n}{r} = C(n, r) = \frac{n!}{r! (n - r)!} $$

예: 10명 중 3명 선택 (순서 무관) = $\binom{10}{3} = \frac{10!}{3! 7!} = 120$.

이항 정리

$$ (x + y)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^{n-k} y^k $$

예: $(x + y)^4 = x^4 + 4x^3 y + 6x^2 y^2 + 4 x y^3 + y^4$

파스칼 삼각형

$$ \binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k} $$

시각화:

        1
      1   1
     1  2  1
    1  3  3  1
   1  4  6  4  1
  1  5 10 10  5  1
 1  6 15 20 15  6  1

각 원소는 위의 두 원소의 합.

시각화: 순열 vs 조합

${A, B, C}$ 에서 2개 선택:

flowchart TB
  subgraph "순열 P(3,2) = 6"
    AB1["AB"]
    BA1["BA"]
    AC1["AC"]
    CA1["CA"]
    BC1["BC"]
    CB1["CB"]
  end

  subgraph "조합 C(3,2) = 3"
    AB2["{A,B}"]
    AC2["{A,C}"]
    BC2["{B,C}"]
  end

순열 6개 각각이 2! 씩 그룹지어 조합 3개로 축약. $P(n,r) = C(n,r) \cdot r!$.

중복 순열/조합

중복 순열

중복 허용 순서 있는 배열. $n^r$.

예: 각 자리에 0-9 넣는 4자리 PIN = $10^4 = 10000$.

중복 조합

중복 허용 순서 없는 선택. $\binom{n + r - 1}{r} = \binom{n + r - 1}{n - 1}$.

예: 5가지 맛 아이스크림에서 3 스쿱 (중복 허용) 선택 = $\binom{5 + 3 - 1}{3} = \binom{7}{3} = 35$.

별과 막대 (Stars and Bars)

$x_1 + x_2 + \ldots + x_k = n$ ($x_i \geq 0$ 정수) 의 해의 수 = $\binom{n + k - 1}{k - 1}$.

시각화: $n$ 개의 별 사이에 $k - 1$ 개의 막대를 배치.

★★|★|★★★    (3개 그룹으로 나눔)
n=6, k=3, 배치 = C(6+2, 2) = 28

포함배제 원리 (Inclusion-Exclusion)

두 집합: $$ |A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B| $$

세 집합: $$ |A \cup B \cup C| = |A| + |B| + |C| - |A \cap B| - |A \cap C| - |B \cap C| + |A \cap B \cap C| $$

일반: $$ |A_1 \cup A_2 \cup \ldots \cup A_n| = \sum_i |A_i| - \sum_{i<j} |A_i \cap A_j| + \sum_{i<j<k} |A_i \cap A_j \cap A_k| - \ldots $$

시각화 (3 집합 벤 다이어그램)

         A
        ┌──────┐
        │  a   │
    ┌───┼──────┼───┐
    │ b │ ab   │ c │  B
    │   │  abc │   │
    │   │ ac bc│   │
    └───┼──────┼───┘
        │  ??  │  C
        └──────┘

교차 영역들의 중복 카운트를 부호 교대로 보정.

예: 1부터 100까지 정수 중 2 또는 3 또는 5의 배수 개수.

$|A \cup B \cup C| = 50 + 33 + 20 - 16 - 10 - 6 + 3 = 74$.

계수 방법 카테고리

핵심 질문 3가지:

순서 중요한가? (yes -> 순열, no -> 조합)
중복 허용?
완전히 채우는가 (모두 사용) or 일부만?

상황	공식
$r$ 개 뽑아 배열 (중복 X)	$P(n, r) = n!/(n-r)!$
$r$ 개 뽑아 배열 (중복 O)	$n^r$
$r$ 개 선택 (중복 X)	$C(n, r) = n! / [r!(n-r)!]$
$r$ 개 선택 (중복 O)	$C(n+r-1, r)$
원 순열	$(n-1)!$

비둘기집 원리 (Pigeonhole Principle)

$n+1$ 마리의 비둘기를 $n$ 개의 집에 넣으면, 어떤 집에는 최소 2 마리.

일반화: $N$ 개 원소를 $k$ 개 상자에 넣으면 어떤 상자에는 최소 $\lceil N/k \rceil$ 개.

응용 예

파일 시스템 해시 충돌: 1000 파일을 100 버킷에 -> 어떤 버킷은 최소 10 파일.
생일 문제: 366 명 있으면 반드시 생일 같은 사람 존재.
정보이론: 압축의 이론 한계.

이항 항등식 (Binomial Identities)

핵심 항등식 (모두 조합적 의미가 있음):

$$ \binom{n}{k} = \binom{n}{n-k} \quad (\text{대칭}) $$

$$ \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} = 2^n \quad (\text{모든 부분집합 수}) $$

$$ \sum_{k=0}^{n} (-1)^k \binom{n}{k} = 0 \quad (n \geq 1) $$

$$ \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}^2 = \binom{2n}{n} \quad (\text{Vandermonde}) $$

$$ \binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k} \quad (\text{파스칼}) $$

컴퓨터 과학 응용

알고리즘

정렬: 비교 정렬의 최소 비교 횟수 $\Omega(n \log n)$ 는 판정 트리 (decision tree) 조합론.
DP: 상태 수 = 경우의 수 계산.
NP-완전: 조합 최적화 대부분.

해시

버킷 분배: 비둘기집 -> 충돌 불가피.
해시 충돌 확률: 생일 역설 응용.

정보이론

엔트로피: 이산 확률 분포의 정보량.
Kraft 부등식: 접두어 없는 코드의 조건.

그래프 알고리즘

경로 수: 인접 행렬 거듭제곱.
매칭 수: permanent (계산 hard).

함정

1. 순서와 중복

문제를 잘 읽어야. “선택” 이라도 순서가 중요한지, 중복 가능한지 별도 판단.

2. 케이스 분석 겹침

집합을 나누어 세면 서로소 여야 합의 법칙. 겹치면 포함배제로 보정.

3. 이항 계수 오버플로

$C(100, 50) \approx 10^{29}$. long long 도 넘음. mod 로 계산 필요.

4. $0!$ 은 1

관용. 조합 공식에서 자연스러움. $C(n, 0) = 1$.

증명 기법 (Proof Techniques)

koa (김신건) — Tue, 07 Jul 2026 00:00:00 GMT

정의

증명 (proof) 은 명제가 참임을 논리적으로 확립하는 절차입니다. 컴퓨터 과학에서는 알고리즘 정확성, 자료구조 불변식, 암호 안전성, 형식 검증 등에 필수.

이 문서는 주요 증명 기법을 정리합니다.

1. 직접 증명 (Direct Proof)

“if $P$ then $Q$” 를 증명하려면:

$P$ 를 가정
논리 규칙과 이미 알려진 사실로부터
$Q$ 를 도출

예: 두 홀수의 합은 짝수

증명: $a, b$ 를 홀수라고 하자. $a = 2m + 1$, $b = 2n + 1$ ($m, n \in \mathbb{Z}$).

$a + b = (2m + 1) + (2n + 1) = 2(m + n + 1)$

$m + n + 1 \in \mathbb{Z}$ 이므로 $a + b$ 는 짝수. QED.

2. 대우 증명 (Proof by Contrapositive)

$P \to Q$ 를 증명하려면 대우 $\neg Q \to \neg P$ 를 증명.

예: $n^2$ 가 짝수이면 $n$ 도 짝수

증명: 대우로 “$n$ 이 홀수이면 $n^2$ 도 홀수” 를 증명.

$n$ 이 홀수 -> $n = 2k + 1$ -> $n^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2(2k^2 + 2k) + 1$. 홀수. QED.

3. 귀류법 (Proof by Contradiction, Reductio ad Absurdum)

명제 $P$ 를 증명하려면 $\neg P$ 를 가정하고 모순을 유도.

예: $\sqrt{2}$ 는 무리수

증명: $\sqrt{2}$ 가 유리수라 가정. $\sqrt{2} = \frac{p}{q}$ (기약분수, $\gcd(p, q) = 1$).

$2 q^2 = p^2$

$p^2$ 가 짝수 -> $p$ 짝수 -> $p = 2m$.

$2 q^2 = 4 m^2$

$q^2 = 2 m^2$

$q^2$ 짝수 -> $q$ 짝수.

$p$ 와 $q$ 모두 짝수 -> $\gcd(p, q) \geq 2$. 기약분수 가정과 모순. QED.

예: 소수는 무한하다

증명 (유클리드): 소수가 유한하다고 가정. $p_1, p_2, \ldots, p_n$ 이 모든 소수.

$N = p_1 p_2 \cdots p_n + 1$ 을 고려.

$N$ 을 어떤 $p_i$ 로 나누면 나머지 1. 따라서 $N$ 은 모든 $p_i$ 로 나누어떨어지지 않음.

두 경우:

$N$ 이 소수 -> 목록에 없는 새 소수 -> 모순
$N$ 이 합성수 -> 목록에 없는 소인수 존재 -> 모순

QED.

4. 존재 증명 (Existence Proof)

$\exists x, P(x)$ 를 증명.

구성적 (Constructive)

실제로 $x$ 를 찾음.

예: “짝수인 소수가 존재한다”

증명: $2$ 를 제시. 짝수이고 소수. QED.

비구성적 (Non-constructive)

존재를 논리적으로 보이지만 실제 $x$ 는 제시 안 함.

예: “$a^b$ 가 유리수인 무리수 $a, b$ 가 존재한다”

후보: $a = \sqrt{2}, b = \sqrt{2}$.
$\sqrt{2}^{\sqrt{2}}$ 가 유리수라면: $a = b = \sqrt{2}$ 로 완료.
아니면 무리수. $a’ = \sqrt{2}^{\sqrt{2}}, b’ = \sqrt{2}$. $a’^{b’} = (\sqrt{2}^{\sqrt{2}})^{\sqrt{2}} = \sqrt{2}^2 = 2$ 유리수. QED.

두 경우 중 어느 것이 성립하는지 몰라도 존재 확인 가능.

5. 반례 증명 (Proof by Counterexample)

$\forall x, P(x)$ 가 거짓 임을 보이려면 하나의 반례를 제시.

예: “모든 소수는 홀수” 는 거짓

반례: 2 는 소수이지만 짝수.

6. 수학적 귀납법 (Mathematical Induction)

$P(n)$ 이 모든 $n \geq n_0$ 에 대해 참임을 증명.

단계:

기저 (base): $P(n_0)$ 참 증명.
귀납 단계 (inductive step): $P(k)$ 참 -> $P(k+1)$ 참 증명.

결론: $P(n)$ 이 모든 $n \geq n_0$ 에 대해 참.

시각화

flowchart LR
  Base["기저: P(n₀) 참"] --> Step1["P(n₀) → P(n₀+1)"]
  Step1 --> Step2["P(n₀+1) → P(n₀+2)"]
  Step2 --> Step3["P(n₀+2) → P(n₀+3)"]
  Step3 --> Dots["..."]
  Dots --> Concl["모든 n ≥ n₀"]

도미노 비유: 첫 도미노를 넘어뜨리면 (기저), 그리고 각 도미노가 다음을 넘어뜨리면 (귀납 단계), 모든 도미노가 넘어짐.

예: $1 + 2 + \ldots + n = n(n+1)/2$

기저: $n = 1$. 좌변 = 1, 우변 = $1 \cdot 2 / 2 = 1$. 성립.

귀납 단계: $P(k)$ 참이라 가정, $P(k+1)$ 증명.

$1 + 2 + \ldots + k + (k+1) = \frac{k(k+1)}{2} + (k+1)$ (귀납 가정)

$= (k+1) \left( \frac{k}{2} + 1 \right) = \frac{(k+1)(k+2)}{2}$

$P(k+1)$ 성립. QED.

예: 2^n 개의 조합 (부분집합 수)

$n$ 원소 집합의 부분집합 수 = $2^n$.

기저: $n = 0$. 공집합 $\emptyset$ 의 부분집합은 $\emptyset$ 하나. $2^0 = 1$. 성립.

귀납 단계: $|S| = k$ 인 집합의 부분집합이 $2^k$ 라 가정.

$|S’| = k + 1$ 인 집합 $S’ = S \cup {x}$ ($x \notin S$). $S’$ 의 부분집합은:

$x$ 를 포함 X: $S$ 의 부분집합 = $2^k$ 개
$x$ 를 포함 O: $S$ 의 부분집합에 $x$ 추가 = $2^k$ 개

총 $2^k + 2^k = 2^{k+1}$. QED.

7. 강귀납법 (Strong Induction)

$P(k+1)$ 증명 시 $P(n_0), P(n_0+1), \ldots, P(k)$ 모두 를 가정.

기저 + 강한 귀납 가정.

예: 모든 $n \geq 2$ 는 소인수 분해 가능

기저: $n = 2$ 는 소수. 성립.

귀납 단계: $2, 3, \ldots, k$ 가 모두 소인수 분해 가능이라 가정. $k+1$ 도 가능 증명.

두 경우:

$k + 1$ 이 소수. 완료.
$k + 1 = ab$ ($1 < a, b < k+1$). 강귀납 가정으로 $a, b$ 각각 소인수 분해 가능. 그 곱이 $k+1$ 의 분해.

QED.

8. 구조 귀납법 (Structural Induction)

트리, 리스트, 문자열 등 재귀적 구조에 대한 귀납.

예: 이진 트리의 잎 수

주장: 정점이 $n$ 개인 이진 트리의 잎 수 $\leq \lceil n/2 \rceil + 1$ … (사실은 더 정확한 결과 있음)

구조 귀납:

기저: 정점 1 개 -> 잎 1 개.
귀납: 뿌리 + 왼쪽 부트리 + 오른쪽 부트리. 각 부트리에 귀납 가정 적용.

9. 반대칭 원리 (Well-Ordering Principle)

자연수의 공집합이 아닌 부분집합은 최소 원소를 가짐.

귀납법과 논리적으로 동치.

예: 나눗셈 정리

주장: 정수 $a$ 와 양의 정수 $b$ 에 대해 유일한 $q, r$ 이 존재해 $a = bq + r$, $0 \leq r < b$.

증명: 집합 $S = {a - bq \mid q \in \mathbb{Z}, a - bq \geq 0}$.

$S$ 는 공집합 아님. 최소값 $r = a - bq$ 존재. $0 \leq r$. $r < b$ 를 보이면 완료.

귀류: $r \geq b$ 라 가정. $r’ = r - b = a - b(q+1) \geq 0$. $r’ < r$ 이면서 $S$ 에 속함. 최소성 모순.

컴퓨터 과학 응용

알고리즘 정확성

루프 불변식 (loop invariant): 루프의 각 반복마다 유지되는 성질.

귀납법으로 증명:

초기화: 첫 반복 전에 성립
유지: 한 반복 후에도 성립
종료: 종료 시 원하는 성질 함의

자료구조 불변식

AVL 트리: 각 정점의 두 부트리 높이 차 $\leq 1$.
B-tree: 모든 잎이 같은 깊이.

각 연산이 불변식을 유지함을 귀납법으로 증명.

형식 검증

모델 검사: 상태 공간 모든 경로 확인
정리 증명기 (Coq, Lean): 대화형 증명

재귀 알고리즘

분할 정복: 강귀납법으로 정확성
트리 순회: 구조 귀납

함정

1. 기저 오류

$n = 0$ 또는 $n = 1$ 이 실제 기저인지 확인. $n = 0$ 특수 케이스 잊기 쉬움.

2. 귀납 가정의 잘못된 적용

$P(k)$ 를 가정하고 $P(k+1)$ 증명해야. 순환 논증 (증명하려는 것을 가정) 주의.

3. 무한 케이스 오류

“모든 유한 케이스에 대해 성립하므로 무한 케이스에도” 는 오류. 귀납법으로 명시적 증명.

4. 존재 vs 유일

$\exists x, P(x)$ 와 $\exists! x, P(x)$ (유일 존재) 는 다름. 유일성은 별도 증명.

집합, 관계, 함수 (Sets, Relations, Functions)

koa (김신건) — Tue, 07 Jul 2026 00:00:00 GMT

정의

집합 (set): 서로 다른 원소들의 모음
관계 (relation): 두 집합 사이의 원소들의 대응 규칙
함수 (function): 정의역의 각 원소를 치역의 유일한 원소로 대응시키는 관계

이 세 개념은 이산수학과 컴퓨터 과학의 근본. 자료구조, 데이터베이스, 타입 시스템, 함수형 프로그래밍의 이론적 배경.

집합 (Sets)

표기

나열: ${1, 2, 3}$, ${a, b, c}$

조건 제시: ${x \mid x > 0, x \in \mathbb{Z}}$ = 양의 정수

중요한 집합:

$\mathbb{N}$: 자연수 ${0, 1, 2, \ldots}$ (또는 ${1, 2, \ldots}$)
$\mathbb{Z}$: 정수
$\mathbb{Q}$: 유리수
$\mathbb{R}$: 실수
$\mathbb{C}$: 복소수
$\emptyset$ 또는 ${}$: 공집합

기본 연산

주어진 $A, B$ 에 대해:

연산	정의
합집합 $A \cup B$	$A$ 또는 $B$ 의 원소
교집합 $A \cap B$	$A$ 그리고 $B$ 의 원소
차집합 $A - B$	$A$ 이고 $B$ 가 아닌 원소
대칭차 $A \oplus B$	$A$ 또는 $B$ 이지만 둘 다는 아닌 원소
여집합 $\overline{A}$	전체집합 $U$ 에서 $A$ 아닌 원소
부분집합 $A \subseteq B$	$A$ 의 모든 원소가 $B$ 에
진부분집합 $A \subsetneq B$	부분집합이면서 같지 않음
곱집합 $A \times B$	순서쌍 ${(a, b) \mid a \in A, b \in B}$
멱집합 $\mathcal{P}(A)$	$A$ 의 모든 부분집합

시각화: 벤 다이어그램

flowchart LR
  subgraph "합집합 A ∪ B"
    A1(("A")):::a
    B1(("B")):::b
  end

  subgraph "교집합 A ∩ B"
    A2(("A")):::a
    B2(("B")):::b
    I2["교집합"]:::i
  end

  classDef a fill:#fee2e2
  classDef b fill:#dbeafe
  classDef i fill:#a7f3d0

집합의 크기 (기수)

유한 집합: $|A|$ = 원소 개수. $|{1, 2, 3}| = 3$.
무한 집합: 셀 수 있는 무한 (예: $\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$) 과 셀 수 없는 무한 (예: $\mathbb{R}$) 이 있음.

집합의 크기 공식

$|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$
$|\mathcal{P}(A)| = 2^{|A|}$ (부분집합의 수)
$|A \times B| = |A| \cdot |B|$

포함배제 원리로 3개 이상으로 확장. [[combinatorics-basics|조합론]] 참조.

집합 항등식 (드모르간 등)

법칙	등식
결합	$A \cup (B \cup C) = (A \cup B) \cup C$
교환	$A \cup B = B \cup A$
분배	$A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$
드모르간	$\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}$
흡수	$A \cup (A \cap B) = A$

명제 논리와 완전히 대응 (isomorphic to Boolean algebra).

관계 (Relations)

정의

이항 관계 (binary relation) $R$ 은 $A \times B$ 의 부분집합. 즉 순서쌍 $(a, b)$ 들의 모임.

표기: $(a, b) \in R$ 또는 $a R b$.

예:

$R = {(x, y) \mid x < y, x, y \in \mathbb{Z}}$ = 정수의 “미만” 관계
$R = {(u, v) \mid u \text{ 는 } v \text{ 의 부모}}$ = 부모-자식 관계

관계의 성질

$A$ 위의 관계 $R$ 에 대해:

성질	정의
반사 (reflexive)	모든 $a \in A$ 에 대해 $a R a$
대칭 (symmetric)	$a R b \implies b R a$
반대칭 (antisymmetric)	$a R b \land b R a \implies a = b$
추이 (transitive)	$a R b \land b R c \implies a R c$

동치 관계

반사 + 대칭 + 추이 를 모두 만족하는 관계. 집합을 동치 클래스 로 나눔.

예:

“같다” ($=$)
정수 mod $n$: $a \equiv b \pmod{n}$
그래프의 “연결됨” 관계

부분 순서 (Partial Order)

반사 + 반대칭 + 추이 를 만족.

예:

$\leq$ (정수, 실수)
$\subseteq$ (집합)
정수의 나눗셈 관계 $a | b$
그래프의 위상 정렬

Hasse Diagram

부분 순서를 시각화:

flowchart TD
  E["12"]
  D["6"]
  C["4"]
  B["3"]
  A["2"]
  Z["1"]
  E --- D
  E --- C
  D --- B
  D --- A
  C --- A
  B --- Z
  A --- Z

정수 12 의 약수 집합 ${1, 2, 3, 4, 6, 12}$ 의 나눗셈 관계.

함수 (Functions)

정의

함수 $f: A \to B$ 는 $A$ 의 각 원소를 $B$ 의 유일한 원소에 대응시키는 관계.

$A$: 정의역 (domain)
$B$: 공역 (codomain)
$f(A) = {f(a) \mid a \in A}$: 치역 (range) (공역의 부분집합)

함수의 종류

단사 (injective, one-to-one): $f(a_1) = f(a_2) \implies a_1 = a_2$. 서로 다른 입력은 서로 다른 출력.

전사 (surjective, onto): 모든 $b \in B$ 에 대해 $f(a) = b$ 인 $a \in A$ 존재. 치역 = 공역.

전단사 (bijective): 단사 + 전사. 역함수 존재.

시각화

flowchart LR
  subgraph "단사 (injective)"
    A1["1"] -->|f| B1["a"]
    A2["2"] -->|f| B2["b"]
    A3["3"] -->|f| B3["c"]
    B4["d"]
    B5["e"]
  end

  subgraph "전사 (surjective)"
    C1["1"] -->|f| D1["a"]
    C2["2"] -->|f| D1
    C3["3"] -->|f| D2["b"]
    C4["4"] -->|f| D3["c"]
  end

  subgraph "전단사 (bijective)"
    E1["1"] -->|f| F1["a"]
    E2["2"] -->|f| F2["b"]
    E3["3"] -->|f| F3["c"]
  end

단사: 안 쓰인 공역 원소 OK, 하지만 중복 대응 안 됨
전사: 공역 다 커버, 하지만 여러 정의역이 같은 곳으로 OK
전단사: 위 둘 다

함수의 합성

$f: A \to B$, $g: B \to C$ 이면 $g \circ f: A \to C$ 정의.

$(g \circ f)(x) = g(f(x))$

성질:

결합: $(h \circ g) \circ f = h \circ (g \circ f)$
교환 X: 일반적으로 $g \circ f \neq f \circ g$

역함수

$f: A \to B$ 가 전단사이면 역함수 $f^{-1}: B \to A$ 존재.

$f^{-1}(f(a)) = a$, $f(f^{-1}(b)) = b$

컴퓨터 과학 응용

자료구조

집합: HashSet, TreeSet, set (Python)
관계: 데이터베이스의 테이블 = $A \times B$ 의 부분집합
함수: Map, Dict, HashMap

함수형 프로그래밍

First-class function: 함수를 값으로
함수 합성: $g \circ f$
불변성: 수학적 함수처럼

타입 시스템

타입 = 집합: int = 정수 집합, bool = ${T, F}$
함수 타입: $A \to B$
곱 타입: (int, string) = $\mathbb{Z} \times \text{String}$
합 타입: Result<T, E> = $T \sqcup E$ (disjoint union)

관계형 데이터베이스

관계 (테이블): $R \subseteq A_1 \times A_2 \times \ldots \times A_n$
정규화: 함수 종속성 (functional dependency) 이론
결합 (JOIN): 관계의 곱

그래프

그래프 $G = (V, E)$ 는 정점 집합 $V$ 와 간선 관계 $E \subseteq V \times V$.

함정

1. 집합의 원소 개수 vs 순서

집합은 순서 없음: ${1, 2} = {2, 1}$ 순서쌍은 순서 있음: $(1, 2) \neq (2, 1)$

2. $\in$ vs $\subseteq$

$1 \in {1, 2}$ (원소) ${1} \subseteq {1, 2}$ (부분집합)

$1 \subseteq {1, 2}$ 는 오류 (숫자 1 은 집합이 아님).

3. 함수의 well-defined

$f: \mathbb{Q} \to \mathbb{Q}$, $f(\frac{p}{q}) = p + q$ 는 함수가 아님. 왜? $\frac{1}{2} = \frac{2}{4}$ 지만 $1+2 \neq 2+4$. Well-defined 하지 않음.

4. 관계 vs 함수

관계는 한 입력에 여러 출력 가능. 함수는 유일.

김신건의 로그 - 위키 / discrete-math

그래프 이론 기초 (Graph Theory)

정의

그래프의 종류

무향 그래프 (Undirected Graph)

유향 그래프 (Directed Graph, Digraph)

가중 그래프 (Weighted Graph)

다중 그래프 vs 단순 그래프

완전 그래프 $K_n$

이분 그래프 (Bipartite Graph)

차수 (Degree)

악수 정리 (Handshake Theorem)

유향 그래프의 in/out-degree

경로와 사이클

연결성 (Connectivity)

트리 (Tree)

성질

트리와 관련 개념

그래프 표현

인접 행렬 (Adjacency Matrix)

인접 리스트 (Adjacency List)

간선 리스트

그래프 탐색

그래프 색칠

대표 예

4색 정리

응용

오일러 경로와 해밀턴 경로

오일러 경로 (Eulerian Path)

해밀턴 경로 (Hamiltonian Path)

매칭 (Matching)

이분 그래프 매칭

그래프의 활용

네트워크

컴파일러

데이터베이스

기계학습

게임

함정

1. 방향/무방향 혼동

2. 다중 간선

3. 그래프 vs 트리

4. 자기 루프

관련 위키

명제 논리 (Propositional Logic)

정의

논리 연산자

진리표

AND ($\land$)

OR ($\lor$)

함의 ($\to$)

동치 ($\leftrightarrow$)

진리표로 논리 등식 검증

시각화: 진리표를 다이어그램으로

AND / OR 벤 다이어그램

논리 동치 (주요 법칙)

함의의 관련 명제

항진명제와 모순

정규형

논리곱 정규형 (CNF, Conjunctive Normal Form)

논리합 정규형 (DNF)

추론 규칙

Modus Ponens (긍정 논법)

Modus Tollens (부정 논법)

삼단논법

분리 규칙

컴퓨터 과학 응용

프로그래밍 조건문

회로 설계

형식 검증

SAT 문제

함정

1. 함의의 vacuous truth

2. 역과 원 명제 혼동

3. 배타적 or 와 포함적 or

4. 드모르간 실수

다음 학습

관련 위키

부울 대수 (Boolean Algebra)

정의