Taylor Series: 함수 근사

2026년 7월 16일 · 수정 2026년 7월 16일 · 📖 약 3분 · 892자/단어 #algorithm #math #analysis #numerical

정의

무한히 미분 가능한 함수 f의 x = a 근방 급수 전개:

f (x) = {\sum n = 0}^{{} \infty} \frac{{}{f}^{(n)} (a)} {n!} (x - a)^{n}

Maclaurin series: a = 0인 특수 경우.

f (x) = f (0) + f^{'} (0) x + \frac{{}{f}^{''} (0)} 2! x^{2} + \frac{{}{f}^{'''} (0)} 3! x^{3} + \dots

문제 상황

알고리즘에서 Taylor series가 필요한 상황:

수치 근사: 삼각함수, 지수함수를 다항식으로 근사하여 계산
생성함수: 수열의 OGF/EGF를 다항식으로 표현
다항식 exp/log: NTT 기반 다항식 연산에서 exp, log 계산
오차 분석: 수치해석에서 근사 오차 상한 계산

시각화

항 수가 늘어날수록 원래 함수에 수렴:

flowchart LR
    f["f(x): 무한히 미분 가능한 함수"]
    p0["0차 근사: 상수 f(a)"]
    p1["1차 근사: 선형 접선"]
    p2["2차 근사: 포물선"]
    pn["n차 다항식 근사"]
    exact["n 무한대: 원래 함수와 일치"]

    f --> p0
    p0 --> p1
    p1 --> p2
    p2 --> pn
    pn --> exact

핵심 아이디어

대표 Maclaurin 급수

e^{x} = {\sum n = 0}^{{} \infty} \frac{{}{x}^{n}} {n!} = 1 + x + \frac{{}{x}^{2}} 2! + \frac{{}{x}^{3}} 3! + \dots

sin x = {\sum n = 0}^{{} \infty} \frac{{}{(} - 1)^{n} x^{2 n + 1}} {(2 n + 1)!} = x - \frac{{}{x}^{3}} 3! + \frac{{}{x}^{5}} 5! - \dots

cos x = {\sum n = 0}^{{} \infty} \frac{{}{(} - 1)^{n} x^{2 n}} {(2 n)!} = 1 - \frac{{}{x}^{2}} 2! + \frac{{}{x}^{4}} 4! - \dots

ln (1 + x) = {\sum n = 1}^{{} \infty} \frac{{}{(} - 1)^{n + 1} x^{n}} {n} = x - \frac{{}{x}^{2}} 2 + \frac{{}{x}^{3}} 3 - \dots (∣ x ∣ \leq 1)

수렴 반경

급수가 수렴하는 x의 범위:

함수	수렴 반경
$e^{x}$	모든 실수 (R = ∞)
$sin x$ , $cos x$	모든 실수 (R = ∞)
$ln (1 + x)$	-1 < x ≤ 1 (R = 1)
$\frac{1}{{} 1 - x}$	-1 < x < 1 (R = 1)

Lagrange 나머지 (오차 상한)

n차 Taylor 다항식의 오차:

R_{n} (x) = \frac{{}{f}^{(n + 1)} (c)} {(n + 1)!} (x - a)^{{} n + 1} {(어떤 c 가 a 와 x 사이에존재)}

항 수 n이 클수록 오차 감소. 수치해석에서 필요한 정밀도에 따라 n 결정.

점화식으로 효율적 계산

각 항을 이전 항에서 점화식으로 계산하면 O(k):

$sin x$ : $t_{{} n + 1} = t_{n} \cdot \frac{{}{-} x^{2}} {(2 n + 2) (2 n + 3)}$
$e^{x}$ : $t_{{} n + 1} = t_{n} \cdot \frac{{}{x}} {n + 1}$
$cos x$ : $t_{{} n + 1} = t_{n} \cdot \frac{{}{-} x^{2}} {(2 n + 1) (2 n + 2)}$

알고리즘

sin(x) 근사 (k항까지)

function sin_approx(x, k):
    result = 0
    term = x
    for n = 0 to k-1:
        result += term
        term *= -x*x / ((2*n+2) * (2*n+3))
    return result

exp(x) 근사

function exp_approx(x, k):
    result = 1
    term = 1
    for n = 1 to k:
        term *= x / n
        result += term
    return result

구현

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

// sin(x) Taylor 근사 (k항)
double sin_taylor(double x, int k) {
  double result = 0, term = x;
  for (int n = 0; n < k; n++) {
      result += term;
      term *= -x * x / ((2.0*n+2) * (2.0*n+3));
  }
  return result;
}

// exp(x) Taylor 근사 (k항)
double exp_taylor(double x, int k) {
  double result = 1, term = 1;
  for (int n = 1; n <= k; n++) {
      term *= x / n;
      result += term;
  }
  return result;
}

int main() {
  ios::sync_with_stdio(false);
  cin.tie(nullptr);

  double x;
  int k;
  cin >> x >> k;

  cout << fixed << setprecision(6);
  cout << "sin(" << x << ") approx: " << sin_taylor(x, k) << "\n";
  cout << "sin(" << x << ") exact:  " << sin(x) << "\n";
  cout << "exp(" << x << ") approx: " << exp_taylor(x, k) << "\n";
  cout << "exp(" << x << ") exact:  " << exp(x) << "\n";

  return 0;
}

import math

def sin_taylor(x, k):
  """sin(x) Taylor 근사 (k항)"""
  result = 0.0
  term = x
  for n in range(k):
      result += term
      term *= -x * x / ((2*n+2) * (2*n+3))
  return result

def exp_taylor(x, k):
  """exp(x) Taylor 근사 (k항)"""
  result = 1.0
  term = 1.0
  for n in range(1, k+1):
      term *= x / n
      result += term
  return result

def main():
  x = float(input())
  k = int(input())
  print(f"sin({x}) approx: {sin_taylor(x, k):.6f}")
  print(f"sin({x}) exact:  {math.sin(x):.6f}")
  print(f"exp({x}) approx: {exp_taylor(x, k):.6f}")
  print(f"exp({x}) exact:  {math.exp(x):.6f}")

main()

stdin

1.0
10

결과

sin(1.0) approx: 0.841471
sin(1.0) exact:  0.841471
exp(1.0) approx: 2.718282
exp(1.0) exact:  2.718282

복잡도

항목	값
시간	O(k) (k항 근사)
공간	O(1)
정밀도	k 증가에 따라 지수적으로 향상
실용 k	double 정밀도: k=15~20 이면 충분

응용 (알고리즘)

1. 생성함수 (Generating Function)

수열 $a_{n}$ 의 OGF: $A (x) = \sum a_{n} x^{n}$ . 다항식 연산으로 수열 합성곱 계산.

Generating Function 참조.

2. 다항식 exp/log (NTT 기반)

형식적 멱급수 (Formal Power Series)에서:

exp (f (x)) = {\sum n = 0}^{{} \infty} \frac{{}{f} (x)^{n}} {n!} (mod {) x^{N}}

Newton’s method로 O(N log N) 계산. FFT / NTT 참조.

3. 수치 적분

$\int_{a}^{b} f (x) d x$ 를 Taylor 급수로 근사 후 항별 적분. 닫힌 형식이 없는 함수에 유용.

4. 오일러 공식

e^{{} i x} = cos x + i sin x

복소수 지수와 삼각함수의 연결. 신호 처리, FFT의 이론적 기반.

함정

1. 수렴 반경 초과

$ln (1 + x)$ 는 $∣ x ∣ > 1$ 에서 발산. 수렴 반경 밖에서 사용하면 오차가 무한히 커짐.

WARNING

수렴 반경 확인 없이 Taylor 급수를 사용하면 완전히 틀린 결과가 나올 수 있음.

2. 항 수 부족

k가 작으면 오차가 크다. 특히 x가 0에서 멀수록 더 많은 항이 필요.

3. 부동소수점 오차 누적

항 수가 너무 많으면 부동소수점 오차가 누적. 적절한 k 선택 필요.

4. 교대급수 소거 오차

$sin x$ , $cos x$ 는 교대급수. 큰 x에서 큰 양수와 큰 음수가 소거되어 유효 자릿수 손실. 큰 x는 주기성을 이용해 $∣ x ∣ \leq π /4$ 범위로 축소 후 계산.

5. 형식적 멱급수와 수렴 혼동

알고리즘에서 다항식 exp/log는 형식적 멱급수 (수렴 여부 무관). 수치 계산의 Taylor 급수와 다른 개념.

BOJ 연습 문제

번호	제목	관련 개념
BOJ 1256	사전	이항 계수 (생성함수 응용)
BOJ 15824	너 봄에는 캡사이신이 맛있단다	기댓값 (EGF 응용)
BOJ 13725	수열의 합	다항식 연산